ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで

著者：Strogatz,StevenHenry,1959- 田中,久陽中尾,裕也千葉,逸人,1982-

出版社：丸善出版 (201501)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.210の問題番号「6.6.11」への解答

系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$
(a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで
$\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$
となるので、系はこの変換に対して不変である。
また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで
$\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$
となるので、系はこの変換に対しても不変である。
従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。

解答者：goodbook 解答日時：2020-12-23 05:22:16

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問題解答へのコメント

1	(b) この系のヤコビ行列は \[ J = \begin{pmatrix} -\cot \phi \sin \theta & -\cos \theta / \sin^2 \phi \\ (\cos^2 \phi + A \sin^2 \phi) \cos \theta & 2(A-1) \sin \phi \cos \phi \sin \theta \end{pmatrix} \]となる。 i) $A>0$のとき、固定点は$(0,\frac{\pi}{2}), \ \ (0,-\frac{\pi}{2}), \ \ (\pi,\frac{\pi}{2}), \ \ (\pi,-\frac{\pi}{2})$の4点。以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ A & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = A > 0 \]となるので、センターと予想される。 \[ (\pi,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -A & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = A > 0 \]となるので、センターと予想される。投稿者：goodbook 投稿日時：2020-12-23 05:24:36
2	ii) $A=0$のとき、固定点は$(\theta^, \frac{\pi}{2}), \ \ (\theta^, -\frac{\pi}{2})$、ここで$\theta^$は$-\pi<\theta^ \leq \pi$の任意の値をもつ。 \[ (\theta^,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & -\cos \theta^ \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = 0 \]となるので、孤立していない固定点と予想される。投稿者：goodbook 投稿日時：2020-12-23 05:25:51
3	iii) $A<0$のとき、固定点は$(0,\pm \frac{\pi}{2}), \ \ (\pi,\pm \frac{\pi}{2}), \ \ (\frac{\pi}{2},\pm \phi^), \ \ (-\frac{\pi}{2},\pm \phi^)$の8点。ここで、$\sin \phi^* = 1/\sqrt{\|A\|+1}, \ \ 0 \leq \phi^* < \frac{\pi}{2}$。 \[ (0,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ A & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = A < 0 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{\|A\|} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{\|A\|} \end{pmatrix} \] \[ (\pi,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -A & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = A < 0 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{\|A\|} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{\|A\|} \end{pmatrix} \] \[ (\frac{\pi}{2},\pm \phi^) \ : \ J = \begin{pmatrix} \mp \sqrt{\|A\|} & 0 \\ 0 & \mp 2 \sqrt{\|A\|} \end{pmatrix}, \\ \tau = \mp 3 \sqrt{\|A\|}, \ \ \Delta = 2\|A\| > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \|A\|>0 \]となるので、$(\frac{\pi}{2},\phi^)$は安定ノード、$(\frac{\pi}{2},-\phi^)$は不安定ノードとなる。 \[ \lambda = \mp \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = \mp 2 \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ (-\frac{\pi}{2},\pm \phi^) \ : \ J = \begin{pmatrix} \pm \sqrt{\|A\|} & 0 \\ 0 & \pm 2 \sqrt{\|A\|} \end{pmatrix}, \\ \tau = \pm 3 \sqrt{\|A\|}, \ \ \Delta = 2\|A\| > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \|A\|>0 \]となるので、$(-\frac{\pi}{2},\phi^)$は不安定ノード、$(-\frac{\pi}{2},-\phi^)$は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \pm \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = \pm 2 \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] 投稿者：goodbook 投稿日時：2020-12-23 05:29:31
4	(c) i) $A>0$のとき、$t \to \infty$では、北極または南極を中心に球表面に8の字を描く軌道を回り続けるか、北極と南極を通る大円の軌道を回り続ける。 ii) $A=0$のとき、$t \to \infty$で、その軌道は上半球または下半球に軌道を描きながら最終的に北極または南極に近づいていく。 iii) $A<0$のとき、$t \to \infty$で、$(\frac{\pi}{2}, \phi^)$または$(-\frac{\pi}{2}, -\phi^)$の角度の位置に近づいていく。投稿者：goodbook 投稿日時：2020-12-23 05:30:35

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1	(b) この系のヤコビ行列は \[ J = \begin{pmatrix} -\cot \phi \sin \theta & -\cos \theta / \sin^2 \phi \\ (\cos^2 \phi + A \sin^2 \phi) \cos \theta & 2(A-1) \sin \phi \cos \phi \sin \theta \end{pmatrix} \]となる。 i) $A>0$のとき、固定点は$(0,\frac{\pi}{2}), \ \ (0,-\frac{\pi}{2}), \ \ (\pi,\frac{\pi}{2}), \ \ (\pi,-\frac{\pi}{2})$の4点。以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ A & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = A > 0 \]となるので、センターと予想される。 \[ (\pi,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -A & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = A > 0 \]となるので、センターと予想される。投稿者：goodbook 投稿日時：2020-12-23 05:24:36
2	ii) $A=0$のとき、固定点は$(\theta^, \frac{\pi}{2}), \ \ (\theta^, -\frac{\pi}{2})$、ここで$\theta^$は$-\pi<\theta^ \leq \pi$の任意の値をもつ。 \[ (\theta^,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & -\cos \theta^ \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = 0 \]となるので、孤立していない固定点と予想される。投稿者：goodbook 投稿日時：2020-12-23 05:25:51
3	iii) $A<0$のとき、固定点は$(0,\pm \frac{\pi}{2}), \ \ (\pi,\pm \frac{\pi}{2}), \ \ (\frac{\pi}{2},\pm \phi^), \ \ (-\frac{\pi}{2},\pm \phi^)$の8点。ここで、$\sin \phi^* = 1/\sqrt{\|A\|+1}, \ \ 0 \leq \phi^* < \frac{\pi}{2}$。 \[ (0,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ A & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = A < 0 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{\|A\|} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{\|A\|} \end{pmatrix} \] \[ (\pi,\pm \frac{\pi}{2}) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -A & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = A < 0 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{\|A\|} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{\|A\|} \end{pmatrix} \] \[ (\frac{\pi}{2},\pm \phi^) \ : \ J = \begin{pmatrix} \mp \sqrt{\|A\|} & 0 \\ 0 & \mp 2 \sqrt{\|A\|} \end{pmatrix}, \\ \tau = \mp 3 \sqrt{\|A\|}, \ \ \Delta = 2\|A\| > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \|A\|>0 \]となるので、$(\frac{\pi}{2},\phi^)$は安定ノード、$(\frac{\pi}{2},-\phi^)$は不安定ノードとなる。 \[ \lambda = \mp \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = \mp 2 \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ (-\frac{\pi}{2},\pm \phi^) \ : \ J = \begin{pmatrix} \pm \sqrt{\|A\|} & 0 \\ 0 & \pm 2 \sqrt{\|A\|} \end{pmatrix}, \\ \tau = \pm 3 \sqrt{\|A\|}, \ \ \Delta = 2\|A\| > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \|A\|>0 \]となるので、$(-\frac{\pi}{2},\phi^)$は不安定ノード、$(-\frac{\pi}{2},-\phi^)$は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \pm \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = \pm 2 \sqrt{\|A\|} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] 投稿者：goodbook 投稿日時：2020-12-23 05:29:31
4	(c) i) $A>0$のとき、$t \to \infty$では、北極または南極を中心に球表面に8の字を描く軌道を回り続けるか、北極と南極を通る大円の軌道を回り続ける。 ii) $A=0$のとき、$t \to \infty$で、その軌道は上半球または下半球に軌道を描きながら最終的に北極または南極に近づいていく。 iii) $A<0$のとき、$t \to \infty$で、$(\frac{\pi}{2}, \phi^)$または$(-\frac{\pi}{2}, -\phi^)$の角度の位置に近づいていく。投稿者：goodbook 投稿日時：2020-12-23 05:30:35

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