ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\ddot{\theta} + b \dot{\theta} + \sin \theta = 0$
相平面において対応する系は
$\dot{\theta} = v, \ \ \dot{v} = - \sin \theta - bv$
この系の固定点は$(2m \pi, 0), \ \ ((2n+1)\pi, 0)$。ここで$m,n$は任意の整数である。
また、この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - \cos \theta & -b \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ ((2n+1)\pi, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -b \end{pmatrix}, \ \ \tau = -b<0, \ \ \Delta = -1<0 \]となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = \frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b+\sqrt{b^2+4} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b-\sqrt{b^2+4} \end{pmatrix} \]
\[ (2m\pi, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -b \end{pmatrix}, \ \ \tau = -b<0, \ \ \Delta = 1>0, \ \ \tau^2-4 \Delta = b^2 -4 \]となる。したがって、
i) $0<b<2$のとき、$(2m\pi, 0)$は安定スパイラルとなる。
ii) $b=2$のとき、$(2m\pi, 0)$は縮退した安定ノードと予想される。
iii) $b>2$のとき、$(2m\pi, 0)$は安定ノードとなる。
\[ \lambda = \frac{-b+\sqrt{b^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b+\sqrt{b^2-4} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{-b-\sqrt{b^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b-\sqrt{b^2-4} \end{pmatrix} \]
これらの相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-12-26 09:36:21

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