ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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方程式$\ddot{\theta} + \sin \theta = \gamma$
(a) 相平面において対応する系は
$\dot{\theta} = v, \ \ \dot{v}= \gamma - \sin \theta$。
この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - \cos \theta & 0 \end{pmatrix} \]となる。
i) $0<\gamma<1$のとき、固定点は$( \theta^* + 2m \pi, 0), \ \ ((2n+1) \pi - \theta^*, 0)$。ここで、$\sin \theta^* = \gamma, \ \ 0<\theta^*<\frac{\pi}{2}$で、$m,n$は任意の整数とする。
以下、固定点ごとに分類。
\[ (\theta^*+2m\pi, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\sqrt{1-\gamma^2} & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = \sqrt{1-\gamma^2}>0 \]となり、センターと予想される。
\[ ((2n+1)\pi-\theta^*, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \sqrt{1-\gamma^2} & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = -\sqrt{1-\gamma^2}<0 \]となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = (1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ (1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -(1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -(1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \end{pmatrix} \]
ii) $\gamma=1$のとき、固定点は$( \pi/2+ 2m \pi, 0)$となる。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]となり、孤立していない固定点と予想される。
iii) $\gamma >1$のとき、固定点はなし。

(b) 添付図参照。

(c) 方程式の両辺に$\dot{\theta}$をかけて整理すると、
\[ E = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \cos \theta - \gamma \theta \]
となる保存量をもつ。また、この系は$t \to -t, \ \ v \to -v$の変換のもとで不変であるので、可逆である。

(d) 添付図参照。

(e) $0<\gamma<1$のとき、方程式を固定点$( \theta^* + 2m \pi, 0)$周りで展開し、近似すると、
\[ \ddot{\theta} + \sqrt{1-\gamma^2} \theta = 0 \]となる。したがって、相図中のセンター周りの小さな振動の近似的な振動数は$(1 - \gamma^2)^\frac{1}{4}$となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-12-27 14:00:18

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