ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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方程式$\ddot{\theta} + (1+a \cos \theta) \dot{\theta} + \sin \theta = 0$
相平面において対応する系は
$\dot{\theta} = v, \ \ \dot{v}= - \sin \theta - (1+a \cos \theta) v$
となる。この系の固定点は$( n \pi, 0)$。またヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -(-1)^n & -(1+(-1)^n a ) \end{pmatrix} \]となる。

$n$が奇数のとき、$\tau = -(1-a), \ \ \Delta = -1 <0$となるので、$( n \pi, 0)$はサドル点となる。
\[ \lambda = \frac{-(1-a)+\sqrt{(1-a)^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1-a)+\sqrt{(1-a)^2+4} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{-(1-a)-\sqrt{(1-a)^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1-a)-\sqrt{(1-a)^2+4} \end{pmatrix} \]

$n$が偶数のとき、$\tau = -(1+a), \ \ \Delta = 1 > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (a+3)(a-1)$となる。
i) $0<a<1$のとき、$( n \pi, 0)$は安定スパイラルとなる。
ii) $a=1$のとき、$( n \pi, 0)$は縮退した安定ノードとなる。
iii) $a>1$のとき、$( n \pi, 0)$は安定ノードとなる。
\[ \lambda = \frac{-(1+a)+\sqrt{(1+a)^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1+a)+\sqrt{(1+a)^2-4} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{-(1+a)-\sqrt{(1+a)^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1+a)-\sqrt{(1+a)^2-4} \end{pmatrix} \]

これらの相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-12-27 16:21:12

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