ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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方程式$\ddot{\theta}+\sin \theta = 0$
(a) 方程式の両辺に$\dot{\theta}$をかけて整理すると、エネルギーとして
\[ E = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \cos \theta \]が得られる。振り子が振幅$\alpha$で振れている場合、振れ幅が最大のところで、$\dot{\theta} = 0, \ \ \theta = \alpha$となるので、エネルギー保存則から
\[ -\cos \alpha = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \cos \theta \]すなわち\[ \dot{\theta}^2 = 2 ( \cos \theta - \cos \alpha ) \ \ \ \ (1) \]が得られる。振り子の周期は振り子が$\theta = 0$から$\theta =\alpha$まで動く時間の4倍となるので、$(1)$式を用いると、
\[ T(\alpha)= 4 \int_0^{\alpha} \frac{d \theta}{ [ 2 ( \cos \theta - \cos \alpha ) ]^{\frac{1}{2}} } \]を得る。

(b) 半角公式$ \cos \theta = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} $を使うと、
\[ T(\alpha)= 4 \int_0^{\alpha} \frac{d \theta}{ [ 4 ( \sin^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} ) ]^{\frac{1}{2}} } \]を得る。

(c) 変数変換$ \sin \frac{1}{2} \alpha \sin \phi = \sin \frac{1}{2} \theta $を考えると、
\[ d \theta = \frac{2 \sin \frac{1}{2} \alpha \cos \phi}{\cos \frac{\theta}{2} } d \phi \]であるので、
\[ T(\alpha) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \phi}{ \cos \frac{\theta}{2} } \]となる。さらに、
\[ \cos \frac{\theta}{2} = \left( 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \phi \right)^{\frac{1}{2}} \]となるので、
\[ T(\alpha) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \phi}{ \left( 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \phi \right)^{\frac{1}{2}} } = 4 K \left( \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right) \]が得られる。

(d) 楕円積分を二項級数で展開すると、
\[ T(\alpha) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 + \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \phi + \mathcal{O}(\alpha^4) \right) d \phi \]となる。ここで、
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \phi d \phi = \frac{\pi}{4} \]となるので、
\[ T(\alpha) = 2 \pi \left[ 1 + \frac{1}{16} \alpha^2 + \mathcal{O}(\alpha^4) \right] \]が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-12-28 06:48:45

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