ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}=x^2-y-1, \ \ \dot{y} = y(x-2)$
(a) この系は$(1,0), \ \ (-1,0), \ \ (2,3)$の3つの固定点をもつ。以下、固定点ごとに分類。
\[ (1, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 1, \ \ \Delta = -2 \]となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ (-1, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -5 \ \ \Delta = 6, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1 \]となるので、安定ノードとなる。
\[ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (2, 3) \ : \ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 4 \ \ \Delta = 3, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 4 \]となるので、不安定ノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = 3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

(b) (a)で得た3つの固定点のペアから得られる3本の直線はいずれもこの系の軌道を表すことに注意する。一方、定理6.8.2より相平面における任意の閉軌道は固定点をそれらの指数の総和が$+1$となるように囲まれるので、閉軌道の候補として、
・固定点$(1,0)$のみを囲む閉軌道
・固定点$(-1,0)$のみを囲む閉軌道
・3つの固定点すべてを囲む閉軌道
が考えられる。しかし、これらの閉軌道はいずれも3本の直線軌道の少なくとも2本と交わる。これは軌道同士が交わらないという条件に反する。したがって、この系に周期軌道は存在しない。

(c) 相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-01-27 06:40:12

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