ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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まず、孔を囲まない領域では、デュラックの判定法の仮定が成立しているので、閉軌道は存在しない。次に、
孔を囲む2つの閉軌道$C_1, \ \ C_2$があり、$C_2$が囲む領域の内部に$C_1$が入るとする。$C_1$と$C_2$の間の領域を$A$とすると、グリーンの定理より
\[ \iint_A \nabla \cdot (g \dot{\boldsymbol{x}}) = \oint_{C_2} g \dot{\boldsymbol{x}} \cdot \boldsymbol{n} dl - \oint_{C_1} g \dot{\boldsymbol{x}} \cdot \boldsymbol{n} dl \]が成り立つ。このとき、右辺は、それぞれの線積分が$0$となるので、全体としても$0$となる。一方、左辺はデュラックの判定法の仮定が成立しているので、$A$が$0$でない限り、$0$にはならない。つまり、グリーンの定理が成り立つためには、$C_1$と$C_2$が同一である必要がある。
したがって、領域$R$が円環と位相同型である場合、$R$には高々１つの閉軌道が存在する。

解答者：goodbook 解答日時：2021-01-30 06:10:42

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