ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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7.3.1
系$\dot{x}=x-y-x(x^2+5y^2), \ \ \dot{y} = x+y-y(x^2+y^2)$
(a) 原点でのヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-3x^2-5y^2 & -1-10xy \\ 1-2xy & 1-x^2-3y^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=2, \ \ \Delta =2, \ \ \tau^2 -4 \Delta = -4 \]となるので、不安定スパイラルとなる。

(b) $ \dot{r} = r - r^3 (1+\sin^2 2 \theta), \ \ \dot{\theta} = 1 + r^2 \sin 2\theta ( 1- \cos 2\theta )$

(c) 原点を中心とする円で、その上ですべての軌道が動径方向に外向きの成分をもつためには、$\dot{r}>0$が任意の$\theta$について成り立てばよい。つまり、
\[ r^2 < \frac{1}{1+\sin^2 2 \theta} \]が任意の$\theta$で成り立つ。$1 \leq 1+\sin^2 2 \theta \leq 2$であるので、外向きの成分をもつような最大半径は
\[ r_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \]となる。

(d) 原点を中心とする円で、その上ですべての軌道が動径方向に内向きの成分をもつためには、$\dot{r}<0$が任意の$\theta$について成り立てばよい。つまり、
\[ r^2 > \frac{1}{1+\sin^2 2 \theta} \]が任意の$\theta$で成り立つ。$1 \leq 1+\sin^2 2 \theta \leq 2$であるので、内向きの成分をもつような最大半径は
\[ r_2 = 1 \]となる。

(e) この系とトラッピング領域$r_1 \leq r \leq r_2$はポアンカレ-ベンディクソンの定理の仮定を満たすので、このトラッピング領域にリミットサイクルを持つ。

解答者：goodbook 解答日時：2021-01-30 14:34:42

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