ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

投稿一覧に戻る

系$\dot{x}=x-y-x^3, \ \ \dot{y} = x+y-y^3$
この系は原点に固定点を持つ。原点でのヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-3x^2 & -1 \\ 1 & 1-3y^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=2, \ \ \Delta =2, \ \ \tau^2 -4 \Delta = -4 \]となるので、不安定スパイラルとなる。
次に、この系を極座標で表すと、
\[ \dot{r} = r - \frac{r^3}{4} (3+\cos 4 \theta), \ \ \dot{\theta} = 1 - \frac{r^2}{4} \sin 4 \theta \]となる。
原点を中心とする円で、その上ですべての軌道が動径方向に外向きの成分をもつためには、任意の$\theta$について$\dot{r}>0$、すなわち、
\[ r^2 < \frac{4}{3+\cos 4 \theta} \]となる$r$を選べばよい。$1 \leq 4/(3+\cos 4 \theta ) \leq 2$であるので、これを満たす最大半径は
\[ r_1 = 1 \]となる。一方、原点を中心とする円で、その上ですべての軌道が動径方向に内向きの成分をもつためには、任意の$\theta$について$\dot{r}<0$、すなわち、
\[ r^2 > \frac{4}{3+\cos 4 \theta} \]となる$r$を選べばよい。$1 \leq 4/(3+\cos 4 \theta ) \leq 2$であるので、これを満たす最小半径は
\[ r_2 = \sqrt{2} \]となる。
したがって、この系とトラッピング領域$r_1 \leq r \leq r_2$はポアンカレ-ベンディクソンの定理の仮定を満たすので、このトラッピング領域に周期解を持つ。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-01 05:11:49

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。