ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\dot{x} = x(1-4x^2-y^2) - \frac{1}{2}y(1+x), \ \ \dot{y} = y(1-4x^2-y^2) + 2x(1+x)$
(a) この系の固定点は原点のみ。原点でのヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-12x^2 - y^2 -\frac{1}{2} y & -2xy - \frac{1}{2}(1+x) \\ -8xy+2+4x & 1-4x^2-3y^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \\ \tau=2, \ \ \Delta =2, \ \ \tau^2 -4 \Delta = -4 \]となるので、不安定スパイラルとなる。

(b) $V=(1-4x^2-y^2)^2$として、$\dot{V}$を考えると、
\[ \dot{V} = -4(1-4x^2-y^2)(4x\dot{x}+y\dot{y}) = -4(4x^2+y^2)(1-4x^2-y^2)^2 \leq 0 \]となる。これは原点を除く任意の点から始まる軌道は時間が経つにつれて、$V$が小さくなる向きに進み、やがて楕円$4x^2+y^2=1$に近づいていくと、$\dot{V}$は$0$に近づき、この楕円近傍に留まり続けることを表している。つまり、すべての軌道が$t \to \infty$で楕円$4x^2+y^2=1$に近づいていくことが分かる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-02 05:16:02

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