ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

投稿一覧に戻る

振り子の方程式$\ddot{x}+F(x,\dot{x})\dot{x}+x = 0$
ただし、$r^2 = x^2 + \dot{x}^2$として、$r \leq a$で$F(x,\dot{x})<0$、$r \geq b$で$F(x,\dot{x})>0$。

(a) $F(x,\dot{x})\dot{x}$の項は振り子の減衰項とみなすことができる。
$r \leq a$のとき$F(x,\dot{x})<0$となるので、減衰項は振り子の振幅が増幅される方向に働き、一方、$r \geq b$のとき$F(x,\dot{x})>0$となるので、減衰項は振り子の振幅が減衰される方向に働く。

(b)$\dot{x}=y$とおくと、方程式は
$\dot{x}=y, \ \ \dot{y}=-x - F(x,y) y$
と表すことができる。
この系は原点に唯一の固定点をもつ。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1-\frac{\partial F}{\partial x}y & -\frac{\partial F}{\partial y}y -F \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -F(0,0) \end{pmatrix}, \ \ \tau=-F(0,0)>0, \ \ \Delta =1 \]となるので、不安定な固定点となる。
次に、この系を極座標で表すと、
\[ \dot{r} = - rF \frac{1-\cos 2 \theta }{2}, \ \ \dot{\theta} = - \left( \frac{F}{2} \sin 2 \theta + 1 \right) \]となる。$0 \leq (1-\cos 2 \theta )/2 \leq 1$であるので、$F(x,y)$の仮定から、$a \leq r \leq b$の領域はトラッピング領域とみなすことができる。したがって、ポアンカレ-ベンディクソンの定理より、$a<r<b$の領域に少なくとも1つ閉軌道が存在することがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-04 06:23:40

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。