ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}=y + ax(1-2b-r^2), \ \ \dot{y} = -x + a y (1-r^2), \ \ 0 < a \leq 1, \ \ 0 \leq b < \frac{1}{2}$

(a) この系を極座標で表すと、
\[ \dot{r} = a r ( 1 - b ( \cos 2 \theta + 1 ) - r^2 ), \ \ \ \dot{\theta} = -1 +ab \sin 2 \theta \]となる。

(b) この系は原点に固定点を持つ。原点でのヤコビ行列は
\[ A =\begin{pmatrix} a(1-2b) & 1 \\ -1 & a \end{pmatrix}, \\ \tau=2a(1-b)>0, \ \ \Delta = a^2 (1-2b) + 1 >0, \ \ \tau^2 -4 \Delta = 4(a^2 b^2-1) <0 \]となるので、不安定スパイラルとなる。
次に、原点を中心とする円で、その上ですべての軌道が動径方向に外向きの成分をもつためには、任意の$\theta$について$\dot{r}>0$、すなわち、
\[ r^2 < 1 - b( \cos 2 \theta + 1 ) \]となる$r$を選べばよい。$1-2b \leq 1 - b( \cos 2 \theta + 1 ) \leq 1$であるので、これを満たす最大半径は
\[ r_1 = \sqrt{1-2b} \]となる。一方、原点を中心とする円で、その上ですべての軌道が動径方向に内向きの成分をもつためには、任意の$\theta$について$\dot{r}<0$、すなわち、
\[ r^2 > 1 - b( \cos 2 \theta + 1 ) \]となる$r$を選べばよい。$1-2b \leq 1 - b( \cos 2 \theta + 1 ) \leq 1$であるので、これを満たす最小半径は
\[ r_2 = 1 \]となる。
したがって、この系とトラッピング領域$r_1 \leq r \leq r_2$はポアンカレ-ベンディクソンの定理の仮定を満たすので、少なくとも1つはリミットサイクルが存在する。
また、リミットサイクルの周期は
\[ T(a,b) = \int_0^{2 \pi} \frac{dt}{d \theta} d \theta = \int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{1 -a b \sin 2 \theta } = \int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{1 -a b \sin \theta } = \frac{2 \pi}{ \sqrt{1-a^2 b^2} } \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-06 09:57:56

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問題解答へのコメント

1	(c) $b=0$のとき、トラッピング領域は円$r=1$となるので、リミットサイクルは円$r=1$の１つだけとなる。 投稿者：goodbook 投稿日時：2021-02-06 10:00:09