ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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2次元系$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x} - r^2 \boldsymbol{x}$、$A$は固有値$\alpha \pm i \omega$をもつ。

行列$A$を
\[ A = \begin{pmatrix} \alpha & -\omega \\ \omega & \alpha \end{pmatrix} \]とおいても一般性は変わらない。
このとき、この系を極座標で表すと、
\[ \dot{r} = r ( \alpha - r^2 ), \ \ \dot{\theta} = \omega \]となる。

i) $\alpha > 0$のとき、動径方向と角度方向のダイナミクスは分離しているので、それぞれ個別にしらべる。動径方向のダイナミクスを直線上のベクトル場として取り扱うことにより、$r^*=0$は不安定固定点であり、$r^*=\sqrt{\alpha}$は安定固定点であることがわかる。したがって、相平面に戻って考えると、（$r^*=0$を除く）すべての軌道は$r^*=\sqrt{\alpha}$の円に単調に近づいていくことがわかる。角度方向の運動は単に一定角速度$\omega$での回転なので、すべての軌道は$r=\sqrt{\alpha}$のリミットサイクルへ漸近的に巻き付いていく。すなわち、すくなくとも１つリミットサイクルが存在する。
ii) $\alpha < 0$のとき、$g(\boldsymbol{x})=1$と選ぶと、
\[ \nabla \cdot (g \dot{\boldsymbol{x}}) = 2(\alpha - r^2 ) < 0 \]となる。領域$R^2$は単連結であり、関数$g$および$\boldsymbol{f} = A \boldsymbol{x} - r^2 \boldsymbol{x}$は滑らかさの条件を満たしているので、デュラックの判定法により、リミットサイクルは１つも存在しない。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-13 07:12:33

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