ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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方程式$\ddot{x}+\mu (x^2-1) \dot{x} + \tanh x = 0$
解）$f(x)= \mu(x^2-1), \ \ g(x)=\tanh x$とおくと、
(1) $f(x)$および$g(x)$はすべての$x$に対して連続微分可能。
(2) $g(-x) = \tanh(-x) = -\tanh x = -g(x)$となり、$g(x)$は奇関数。
(3) $x>0$に対して$g(x)=\tanh x > 0$。
(4) $f(-x)= \mu ( (-x)^2 - 1 ) = \mu (x^2-1) = f(x)$となり、$f(x)$は偶関数。
(5) $F(x)= \frac{1}{3} \mu x (x^2 - 3)$となるので、$a=\sqrt{3}$とすると、$\mu>0$のとき、$F(x)$は$x=a$でのみ$0$となり、$0<x<a$では負、$x>a$では正の値をもつ非減少関数であり、$x \to \infty$では$F(x) \to \infty$となる。
したがって、リエナールの定理より、この方程式は$\mu>0$のとき安定な周期解をちょうど１つ持つ。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-14 06:46:36

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