ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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方程式$\ddot{x}+\mu (x^4-1) \dot{x} + x = 0$
(a）$f(x)= \mu(x^4-1), \ \ g(x)=x$とおくと、
(1) $f(x)$および$g(x)$はすべての$x$に対して連続微分可能。
(2) $g(-x) = -x = -g(x)$となり、$g(x)$は奇関数。
(3) $x>0$に対して$g(x)=x > 0$。
(4) $f(-x)= \mu ( (-x)^4 - 1 ) = \mu (x^4-1) = f(x)$となり、$f(x)$は偶関数。
(5) $F(x)= \frac{1}{5} \mu x (x^4 - 5)$となるので、$a=5^{\frac{1}{4}}$とすると、$\mu>0$のとき、$F(x)$は$x=a$でのみ$0$となり、$0<x<a$では負、$x>a$では正の値をもつ非減少関数であり、$x \to \infty$では$F(x) \to \infty$となる。
したがって、リエナールの定理より、この方程式は$\mu>0$で唯一の安定なリミットサイクルをもつ。

(b) 方程式をベクトル場で表すと、
$\dot{x} = y, \ \ \dot{y}=-x-\mu(x^4-1)y$
となる。この系の固定点は原点のみで、$\mu=1$のときは不安定スパイラルとなる。
$\mu=1$のときの相図は添付図のようになる。

(c) この系を時間反転した方程式は$\ddot{x}-\mu (x^4-1) \dot{x} + x = 0$となる。このとき、$f(x)= -\mu(x^4-1), \ \ g(x)=x$とおくと、$\mu<0$の場合にリエナールの定理の条件をすべて満たす（条件(5)は$a=5^{\frac{1}{4}}$で成り立つ）ので、時間反転した系は$\mu<0$で唯一の安定なリミットサイクルをもつ。したがって、$\mu<0$の場合は、唯一の不安定なリミットサイクルをもつ。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-14 08:10:10

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