ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\ddot{x}+k(x^2-4)\dot{x}+x=1$
解）左辺の第1項と第2項から
\[ \ddot{x}+k(x^2-4)\dot{x} = \frac{d}{dt} \left[ \dot{x} + k \left( \frac{1}{3} x^3 - 4x \right) \right] \]となるので、
\[ F(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x, \ \ w = \dot{x} + kF(x) \]とおくと、系は
\[ \dot{w} = \ddot{x} + k(x^2-4)\dot{x} = 1-x \]と書くことができる。したがって、系は
\[ \dot{x} = w - kF(x), \ \ \dot{w}=1-x \]となる。さらに、$w=ky$とおくと、
\[ \dot{x} = k( y - F(x) ), \ \ \dot{y}=\frac{1-x}{k} \]となる。このリエナール平面の相図は添付図のようになる。
次に、$k \gg 1$のとき、ヌルクライン間のジャンプに要する時間を無視できるため、周期$T$はヌルクライン上の２つの遅い枝に沿って移動するのに要する時間にほぼ相当する。したがって、
\[ T \approx 2 \int_{t_A}^{t_B}dt \]となる。遅い枝上での軌道は$y \approx F(x)$と近似できるので、
\[ \frac{dy}{dt} \approx F'(x) \frac{dx}{dt} = (x^2-4) \frac{dx}{dt} \]と$\dot{y} = (1-x)/k$より
\[ dt \approx -\frac{k(x^2-4)}{x-1} dx \]が成り立つ。また、正の方の枝は$x_A=4$から始まり、$x_B=2$で終わる。したがって、
\[ T \approx 2 \int_4^2 \frac{-k(x^2-4)}{x-1} dx = 2k [ 8-3 \ln 3 ] \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-17 05:30:58

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