ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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方程式$\ddot{x}+\mu f(x) \dot{x}+x=0$
ただし、$|x|<1$で$f(x)=-1$、$|x| \geq 1$で$f(x)=1$

(a) $F(x)$を区分線形関数
\[ F(x) = \begin{cases} x+2 & (x \leq -1) \\ -x & (|x| \leq 1) \\ x-2 & (x \geq 1) \end{cases} \]とおくと、
\[ \ddot{x}+ \mu f(x) \dot{x} = \frac{d}{dt} \left[ \dot{x} + \mu F(x) \right] \]となる。$w = \dot{x} + \mu F(x)$とおくと、方程式は
\[ \dot{w} = \ddot{x} + \mu f(x) \dot{x} = -x \]と書くことができる。したがって、系は
\[ \dot{x} = w - \mu F(x), \ \ \dot{w}=-x \]となる。さらに、$w= \mu y$とおくと、系は
\[ \dot{x} = \mu ( y - F(x) ), \ \ \dot{y}=\frac{-x}{\mu} \]と等価であることがわかる。

(b) ヌルクラインは添付図の青の線になる。

(c) リミットサイクルは添付図の赤線のようになる。図のB→C、D→Aのジャンプする領域では、区分線形関数で与えられるヌルクラインに近接していない$y-F(x) \sim \mathcal{O}(1)$の場合に相当し、$|\dot{x}| \sim \mathcal{O}(\mu) \gg 1, \ \ |\dot{y}| \sim \mathcal{O}(\mu^{-1}) \ll 1$となり、軌道はほとんど水平方向に$\Delta t \sim \mathcal{O}(\mu^{-1})$の短い時間で動く。一方、図のA→B、C→Dのヌルクラインに沿った領域では、$y-F(x) \sim \mathcal{O}(\mu^{-2})$と考えることができ、$|\dot{x}| \sim \mathcal{O}(\mu^{-1}) \ll 1, \ \ |\dot{y}| \sim \mathcal{O}(\mu^{-1}) \ll 1$となり、$\Delta t \sim \mathcal{O}(\mu)$の長い時間で動く。つまり、この系は$\mu \gg 1$で弛緩振動を生じる。

(d) $\mu \gg 1$の場合のリミットサイクルの周期は
\[ T \approx 2 \int_{t_A}^{t_B}dt \]となる。遅い枝上での軌道は$y \approx F(x)$と近似できるので、
\[ \frac{dy}{dt} \approx F'(x) \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dt} \]となる。これと$\dot{y} = -x/\mu$より
\[ dt \approx -\frac{\mu}{x} dx \]が成り立つ。また、正の方の枝は$x_A=3$から始まり、$x_B=1$で終わる。したがって、
\[ T \approx 2 \int_3^1 \frac{-\mu}{x} dx = 2 \ln 3 \mu \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-18 06:05:57

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