ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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方程式$\ddot{x}+\mu (|x|-1) \dot{x}+x=0$

まず、リエナール平面を求める。$F(x)$を区分に滑らかな関数
\[ F(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2} x^2 - x = -\frac{1}{2} (x+1)^2 + \frac{1}{2} & (x < 0) \\ \frac{1}{2} x^2 - x = \frac{1}{2} (x-1)^2 - \frac{1}{2} & (x \geq 0) \end{cases} \]とおくと、
\[ \ddot{x}+ \mu (|x|-1) \dot{x} = \frac{d}{dt} \left[ \dot{x} + \mu F(x) \right] \]となる。$w = \dot{x} + \mu F(x)$とおくと、方程式は
\[ \dot{w} = \ddot{x} + \mu (|x|-1) \dot{x} = -x \]と書くことができる。したがって、系は
\[ \dot{x} = w - \mu F(x), \ \ \dot{w}=-x \]となる。さらに、$w= \mu y$とおくと、系は
\[ \dot{x} = \mu ( y - F(x) ), \ \ \dot{y}=\frac{-x}{\mu} \]となる。
次に、$\mu \gg 1$のとき、リミットサイクルは添付図の赤線のようになり、弛緩振動を生じる。この場合のリミットサイクルの周期は
\[ T \approx 2 \int_{t_A}^{t_B}dt \]とできる。遅い枝上での軌道は$y \approx F(x)$と近似できるので、
\[ \frac{dy}{dt} \approx F'(x) \frac{dx}{dt} = (x-1)\frac{dx}{dt} \]となる。これと$\dot{y} = -x/\mu$より
\[ dt \approx -\frac{\mu(x-1)}{x} dx \]が成り立つ。また、正の方の枝は$x_A=1+\sqrt{2}$から始まり、$x_B=1$で終わる。したがって、
\[ T \approx 2 \int_{1+\sqrt{2}}^1 \frac{-\mu(x-1)}{x} dx = 2 [\sqrt{2} - \ln (\sqrt{2}+1) ] \mu \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-19 04:58:18

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