ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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バイアスをかけたファン・デル・ポール振動子
$\ddot{x}+\mu (x^2-1) \dot{x}+x=a$

(a) リエナール平面で考える。$F(x)$を
\[ F(x) = \frac{1}{3} x^3 - x \]とおくと、この系は
\[ \dot{x} = \mu [ y - F(x)], \ \ \dot{y}= \frac{a-x}{\mu} \]となる。
この系の固定点は$(a,F(a))$となる。このとき、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} -\mu (a^2-1) & \mu \\ -1/\mu & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu(a^2-1), \ \ \Delta =1, \ \ \tau^2 -4 \Delta = \mu^2(a^2-1)^2-4 \]となる。したがって、
i) $|a|<1$のとき、$(a,F(a))$は不安定な固定点となる。
ii) $|a|=1$のとき、$(a,F(a))$はセンターと予想される。
iii) $|a|>1$のとき、$(a,F(a))$は安定な固定点となる。

(b) 2本のヌルクラインの交点が3次関数で与えられるヌルクラインの中央の枝上にあるとき、$|a|<1$となるので、(a)の結果から固定点は不安定である。

(c) $a_c=1$
リエナール平面上で解析を行うと、$|a|<1$のときは通常のファン・デル・ポール振動子と同様の解析でリミットサイクルが存在することを示せる。一方、$|a| > 1$のとき、軌道は3次関数で与えられるヌルクラインの正または負の枝上にある安定な固定点に吸収される。$|a|=1$のとき、軌道は固定点周りの小さな周回軌道に捕らえられる。

(d) 例えば、$a=1.01$の場合の相図を添付図右下に示す。
固定点よりわずかに下の位置から始まる軌道は一旦、3次関数で与えられるヌルクラインの負の枝まで水平方向に移動し、負の枝に沿って上った後、正の枝に水平方向にジャンプする。そして、正の枝上に沿ってゆっくり下りていき、安定な固定点に吸収される。すなわち、興奮性であることがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-20 14:22:11

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