ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{u} = b (v-u)(\alpha + u^2 )-u, \ \ \dot{v} = c-u$
ただし、$b \gg 1, \ \ \alpha \ll 1, \ \ 8 \alpha b < 1$。

(a) $\alpha = 0.001, \ \ 8 \alpha b =0.36$としたときのヌルクラインは添付図の青線のようになる。

(b) この系の固定点は
\[ \left( c, c+ \frac{c}{b(\alpha + c^2 )} \right) \]である。このとき、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} \frac{2c^2}{\alpha + c^2} -bc^2 -b \alpha -1 & b(\alpha + c^2) \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \\ \tau=\frac{2c^2}{\alpha + c^2} -bc^2 -b \alpha -1, \ \ \Delta =b(\alpha + c^2) \]となる。したがって、この系が弛緩振動をもつためには、少なくとも固定点が不安定である必要があるので、$\tau > 0$より、
\[ \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b - \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} } < c < \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b + \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} } \]が得られる。次に、
\[ c = \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b }{2b} } \]とおいたときの軌道を描くと、添付図左図の赤線のようになり、リミットサイクルが現れることがわかる。また、赤の点列は等時間間隔での軌道のプロットを表しており、$y$軸近傍では軌道はゆっくりと動き、$y$軸から離れると素早く動いていることがわかる。つまり、この系は弛緩振動をしている。以上から、\[ c_1 = \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b - \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} }, \ \ c_2 = \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b + \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} } \]と近似的に置くことができる。

(c) 添付図右図のように、$c$が$c_1$より少し小さい場合、系は興奮性となることがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-21 12:31:23

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