ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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初期値問題$\ddot{x}+x = \varepsilon, \ \ x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $

(a) 初期条件$x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $の下での$\ddot{x} + x - \varepsilon = 0$の厳密解は$x(t) = \cos t + \varepsilon ( 1 - \cos t )$となる。

(b) 級数展開$x(t,\varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$を代入すると、
\[ (\ddot{x}_0 + x_0) + \varepsilon ( \ddot{x}_1 + x_1 - 1 ) + \varepsilon^2 ( \ddot{x}_2 + x_2 )+ \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となる。この式はすべての十分小さい$\varepsilon$に対して成立するので、$\varepsilon$のそれぞれのべきの項の係数はいずれも$0$になる。したがって、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) &: \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) &: \ddot{x}_1 + x_1 - 1 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) &: \ddot{x}_2 + x_2 = 0
\end{align}
\]となる。同様の理由から、初期条件についても
\[ x_0(0) = 1, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_2(0) = 0, \\
\dot{x}_0(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0 \]となる。以下、各オーダーで初期値問題を１つずつ解いていく。
$x_0(0) = 1, \ \ \dot{x}_0(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_0 + x_0 = 0$を解くと、
\[ x_0(t) = \cos t \]が得られる。次に、$x_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_1 + x_1 - 1 = 0$を解くと、
\[ x_1(t) = 1 - \cos t \]が得られる。さらに、$x_2(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_2 + x_2 = 0$を解くと、
\[ x_2(t) = 0 \]が得られる。

(c) (b)の結果から摂動解は永年項を含んでいない。このようになる理由は、厳密解が正弦波振動に相当するタイムスケール$t \sim \mathcal{O}(\varepsilon^0)$のみ含んでおり、遅いタイムスケール$t \sim \mathcal{O}(\varepsilon^{-1})$を含んでいないからである。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-26 04:31:20

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