ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = x$
解）この系では$h=r \cos \theta$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = r \langle \sin \theta \cos \theta \rangle = 0, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = r \langle \cos^2 \theta \rangle = \frac{1}{2} r \]となる。よって、$A, \ \ \phi_0$をある定数として
\[ r(T) \equiv A, \ \ \phi(T) = \frac{T}{2} + \phi_0 \]となるので、長時間挙動として、単純な調和振動子の中にゆっくりと変動する位相を持つことがわかる。また、振幅はほぼ一定値をとり、振動数は$1+\varepsilon/2$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$のとき、
\[ x(t, \varepsilon) \approx a \cos \left( t + \frac{\varepsilon t}{2} \right) + \mathcal{O}( \varepsilon ) \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-27 12:56:14

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