ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = x \dot{x}$
解）この系では$h=-r^2 \sin \theta \cos \theta$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = -r^2 \langle \sin^2 \theta \cos \theta \rangle = 0, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = -r^2 \langle \sin \theta \cos^2 \theta \rangle = 0 \]となる。よって、$A, \ \ \phi_0$をある定数として
\[ r(T) \equiv A, \ \ \phi(T) \equiv \phi_0 \]となるので、長時間挙動として、単純な調和振動子と同等になる。また、振幅はほぼ一定値をとり、振動数は$1+\mathcal{O}(\varepsilon^2)$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$のとき、
\[ x(t, \varepsilon) \approx a \cos t + \mathcal{O}( \varepsilon ) \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-27 13:18:40

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