ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = (|x|-1) \dot{x}$
解）この系では$h=-r \sin \theta ( r | \cos \theta | - 1 )$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = -r^2 \langle \sin^2 \theta |\cos \theta| \rangle + r \langle \sin^2 \theta \rangle = \frac{1}{2}r - \frac{2}{3 \pi} r^2, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = -r^2 \langle \sin \theta \cos \theta | \cos \theta | \rangle + r \langle \sin \theta \cos \theta \rangle = 0 \]となる。
\[ r' = \frac{2}{3 \pi} r (\frac{3 \pi}{4}-r) \]は$r \geq 0$の半直線上のベクトル場に対応すると見なせるので、$r^* = 0$は不安定固定点、$r^*= \frac{3 \pi}{4}$は安定固定点となる。一方、$\phi' = 0$より、ある定数$\phi_0$に対して$\phi(T) \equiv \phi_0$となる。したがって、長時間挙動は
\[ x(t) \to \frac{3 \pi}{4} \cos ( t+ \phi_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon) \]となり、$x(t)$は半径$\frac{3 \pi}{4} + \mathcal{O}(\varepsilon)$の安定なリミットサイクルに近づいていく。つまり、振幅は$\frac{3 \pi}{4} + \mathcal{O}(\varepsilon)$、振動数は$1 + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$として、平均化方程式を解くと、
\[ r(T) \approx \frac{3 \pi a}{4 a - (4 a - 3 \pi) e^{-\frac{T}{2}} } + \mathcal{O}(\varepsilon), \ \ \phi_0 = \mathcal{O}(\varepsilon) \]となるので、
\[ x(t, \varepsilon) \approx \frac{3 \pi a}{4 a - (4 a - 3 \pi) e^{-\frac{\varepsilon t}{2}} } \cos t + \mathcal{O}( \varepsilon ) \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-27 14:46:51

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