ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = (x^2-1) \dot{x}^3$
解）この系では$h=-r^3 \sin^3 \theta ( r^2 \cos^2 \theta - 1 )$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = -r^5 \langle \sin^4 \theta \cos^2 \theta \rangle + r^3 \langle \sin^4 \theta \rangle = \frac{3}{8}r^3 - \frac{1}{16} r^5, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = -r^5 \langle \sin^3 \theta \cos^3 \theta \rangle + r^3 \langle \sin^3 \theta \cos \theta \rangle = 0 \]となる。
\[ r' = \frac{1}{16} r^3 (6-r^2) \]は$r \geq 0$の半直線上のベクトル場に対応すると見なせるので、$r^* = 0$は不安定固定点、$r^*= \frac{3 \pi}{4}$は安定固定点となる。一方、$\phi' = 0$より、ある定数$\phi_0$に対して$\phi(T) \equiv \phi_0$となる。したがって、長時間挙動は
\[ x(t) \to \sqrt{6} \cos ( t+ \phi_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon) \]となり、$x(t)$は半径$\sqrt{6} + \mathcal{O}(\varepsilon)$の安定なリミットサイクルに近づいていく。つまり、振幅は$\sqrt{6} + \mathcal{O}(\varepsilon)$、振動数は$1 + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$として、平均化方程式を解くと、
\[ \frac{r^2-6}{r^2} e^{\frac{6}{r^2}} = \frac{a^2-6}{a^2} e^{\frac{6}{a^2}} e^{-\frac{9}{2} T }, \ \ \phi_0 = \mathcal{O}(\varepsilon) \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-27 14:56:06

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