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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.259の問題番号「7.6.12」への解答

(a)\[
\begin{align}
\langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos k \theta \sin m \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ \sin (k+m) \theta - \sin (k-m) \theta ] d \theta
\end{align}
\]ここで、$k \neq m$のとき、
\[ \langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle = \frac{1}{4 \pi} \left[ -\frac{1}{k+m} \cos (k+m) \theta + \frac{1}{k-m} \cos (k-m) \theta \right]_0^{2 \pi} = 0 \]となり、$k = m$のとき
\[ \langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle = \frac{1}{4 \pi} \left[ -\frac{1}{2k} \cos (2k) \theta \right]_0^{2 \pi} = 0 \]となる。
\[
\begin{align}
\langle \cos k \theta \cos m \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos k \theta \cos m \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ \cos (k+m) \theta + \cos (k-m) \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \frac{1}{k+m} \sin (k+m) \theta + \frac{1}{k-m} \sin (k-m) \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= 0
\end{align}
\] \[
\begin{align}
\langle \sin k \theta \sin m \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \sin k \theta \sin m \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ \cos (k-m) \theta - \cos (k+m) \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \frac{1}{k-m} \sin (k-m) \theta - \frac{1}{k+m} \sin (k+m) \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= 0
\end{align}
\] \[
\begin{align}
\langle \cos^2 k \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos^2 k \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2k \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \theta + \frac{1}{2k} \sin 2k \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
\] \[
\begin{align}
\langle \sin^2 k \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \sin^2 k \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2k \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \theta - \frac{1}{2k} \sin 2k \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
\]

解答者：goodbook 解答日時：2021-02-28 07:39:03

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問題解答へのコメント

1

(b) フーリエ級数
\[ h(\theta) = \sum_{k=0}^\infty a_k \cos k \theta + \sum_{k=1}^\infty b_k \sin k \theta \]の両辺に$\cos m \theta$を掛け、両辺を項別に区間$[0,2\pi]$で平均すると、
\[ \langle h(\theta) \cos m \theta \rangle = \sum_{k=0}^\infty a_k \langle \cos k \theta \cos m \theta \rangle + \sum_{k=1}^\infty b_k \langle \sin k \theta \cos m \theta \rangle \]となる。右辺の各項は(a)で得た直交関係式を用いると、$k=m$での$\langle \cos k \theta \cos m \theta \rangle = 1/2 $のとき以外すべて$0$になるので、
\[ \langle h(\theta) \cos m \theta \rangle = \frac{1}{2} a_m \]を得る。

(c) フーリエ級数の両辺に$\sin m \theta$を掛け、両辺を項別に区間$[0,2\pi]$で平均すると、
\[ \langle h(\theta) \sin m \theta \rangle = \sum_{k=0}^\infty a_k \langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle + \sum_{k=1}^\infty b_k \langle \sin k \theta \sin m \theta \rangle \]となる。右辺の各項は(a)で得た直交関係式を用いると、$k=m$での$\langle \sin k \theta \sin m \theta \rangle = 1/2 $のとき以外すべて$0$になるので、
\[ \langle h(\theta) \sin m \theta \rangle = \frac{1}{2} b_m \]を得る。また、フーリエ級数の両辺に$1$を掛け、両辺を項別に区間$[0,2\pi]$で平均すると、
\[ \langle h(\theta) \rangle = \sum_{k=0}^\infty a_k \langle \cos k \theta \rangle + \sum_{k=1}^\infty b_k \langle \sin k \theta \rangle \]となる。右辺の各項は(a)で得た直交関係式を用いると、$k=0$での$\langle \cos k \theta \rangle = 1$のとき以外すべて$0$になるので、
\[ \langle h(\theta) \rangle = a_0 \]を得る。

投稿者：goodbook 投稿日時：2021-02-28 08:35:39

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