ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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ダフィン振動子$\ddot{x}+x+\varepsilon x^3=0, \ \ 0 < \varepsilon \ll 1, \ \ x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$

(a)ダフィン方程式をベクトル場として表すと、
$\dot{x}=y, \ \ \dot{y}=-x-\varepsilon x^3$
と書ける。また、この系のエネルギーは
\[ E= \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{4} \varepsilon x^4 = \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{4} \varepsilon x^4 \]となり、初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$を考慮すると、
\[ \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{4} \varepsilon x^4 = \frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{4} \varepsilon a^4 \]が得られる。
次に、ベクトル場を極座標で
$x= r \cos \theta, \ \ y= r \sin \theta$
と表すと、エネルギーの式は
\[ \frac{1}{2} r^2 + \frac{1}{4} \varepsilon r^4 \cos^4 \theta = \frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{4} \varepsilon a^4 \]となり、この式から、
\[ r^2 = \frac{-1 + \sqrt{ 1 + \varepsilon \cos^4 \theta ( 2a^2 + \varepsilon a^4 ) } }{\varepsilon \cos^4 \theta } \]を得る。また、
\[ \frac{d \theta}{d t} = \frac{x \dot{y} - y \dot{x} }{r^2} = -(1 + \varepsilon r^2 \cos^4 \theta ) \]となるので、周期$T(\varepsilon)$は
\[ \begin{align}
T(\varepsilon) &= \int^T dt = \int_0^{2 \pi} \frac{dt}{d \theta} d \theta \\
&= \int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{1 + \varepsilon r^2 \cos^4 \theta} \\
&= \int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\sqrt{ 1 + \varepsilon \cos^4 \theta ( 2a^2 + \varepsilon a^4 ) }}
\end{align}
\]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-02 04:30:37

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