ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\ddot{x} + \varepsilon \dot{x}^3 + x = 0$

(a) この系では$h=-r^3 \sin^3 \theta$であるので、平均化方程式は
\[ \begin{align}
r' &= \langle h \sin \theta \rangle = -r^3 \langle \sin^4 \theta \rangle = - \frac{3}{8} r^3 \\
r \phi' &= \langle h \cos \theta \rangle = -r^3 \langle \sin^3 \theta \cos \theta \rangle = 0
\end{align}
\]となる。

(b) 初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$の場合に平均化方程式を解くと、
\[ r(T) = \frac{2a}{\sqrt{3 a^2 T + 4}}, \ \ \phi(T)=0 \]となるので、
\[ x(t, \varepsilon) = \frac{2a}{\sqrt{3 a^2 \varepsilon t + 4}} \cos t + \mathcal{O}(\varepsilon) \]を得る。

(c) $\ddot{x} + \varepsilon \dot{x}^3 + x = 0$を$a=1, \ \ \varepsilon=2$のときにプロットしたものは添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-02 05:45:15

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