ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\ddot{x} + \sin x = 0$
(a) 小振幅の場合、
\[ \sin x \approx x -\frac{1}{6} x^3 \]とおいて、$\frac{1}{6}x^3$を微小摂動と考えることができる。このとき、$h=r^3 \cos^3 \theta$とおくと、平均化方程式は
\[ \begin{align}
r' &= \langle h \sin \theta \rangle = r^3 \langle \sin \theta \cos^3 \theta \rangle = 0 \\
r \phi' &= \langle h \cos \theta \rangle = r^3 \langle \cos^4 \theta \rangle = \frac{3}{8} r^3
\end{align}
\]となる。よって、$a$をある定数として$r(T) \equiv a, \ \ \phi' = \frac{3}{8} a^2$と求まる。したがって、振動数$\omega$は
\[ \omega \approx 1+ \varepsilon \phi' = 1 + \left( -\frac{1}{6} \right) \cdot \frac{3}{8} a^2 = 1 - \frac{1}{16} a^2 \]で与えられることがわかる。

(b) $T=2 \pi/ \omega$で、$a\ll1$であることを考慮すると、
\[ T = 2\pi \left[ 1 - \frac{1}{16} a^2 \right]^{-1} \approx 2 \pi \left( 1+ \frac{1}{16} a^2 \right) \]となるので、$\omega$の表式は演習問題6.7.4で得られた結果と整合することがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-03 04:51:40

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