ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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ファン・デル・ポール振動子$\ddot{x} + \varepsilon \dot{x} (x^2-1) +x =0$の$\varepsilon \ll 1$の極限におけるほぼ円形のリミットサイクルの半径

解）この系をベクトル場$\boldsymbol{v}=\dot{\boldsymbol{x}} = (\dot{x}, \dot{y})$で表すと、
$\dot{x}=y, \ \ \dot{y} = -x - \varepsilon y (x^2-1)$
となる。
$\varepsilon \ll 1$の極限において、この系のリミットサイクルを原点を中心とするほぼ円の形をしたものであるとすると、
\[ \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \approx 0 \]とすることができる。よって、閉軌道$C$をリミットサイクル上にとると、
\[ \oint_C \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} dl \approx 0 \]とみなすことができる。一方、
\[ \nabla \cdot \boldsymbol{v} = - \varepsilon (x^2-1) \]となるので、リミットサイクルの円の半径を$a$とすると、
\[ \begin{align}
\iint_A \nabla \cdot \boldsymbol{v} dA &= - \varepsilon \iint_A (x^2-1) dA \\
&= - \varepsilon \int_0^a \int_0^{2 \pi} ( r^2 \cos^2 \theta -1 ) rdrd \theta \\
&= -2 \pi \varepsilon \left[ \frac{1}{8} a^4 - \frac{1}{2} a^2 \right]
\end{align}
\]となる。したがって、グリーンの定理より
\[ -2 \pi \varepsilon \left[ \frac{1}{8} a^4 - \frac{1}{2} a^2 \right] \approx 0 \]となり、$a \approx 2$が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-04 04:11:08

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