ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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ダフィン方程式$\ddot{x}+x+\varepsilon x^3 = 0, \ \ 0< \varepsilon \ll 1, \ \ x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$
(a) $\tau = \omega t$とおくと、
\[ \dot{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{d \tau}{d t} \frac{dx}{d \tau} = \omega x', \ \ \ddot{x} = \omega^2 x'' \]となる。したがって、ダフィン方程式は
\[ \omega^2 x'' + x + \varepsilon x^3 = 0 \]となる。
(b) $x(\tau, \varepsilon) = x_0(\tau) + \varepsilon x_1(\tau) + \mathcal{O}(\varepsilon^2), \ \ \omega = 1 + \varepsilon \omega_1 + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$とおき、ダフィン方程式に代入すると、
\[ (1 + \varepsilon \omega_1)^2( x_0'' + \varepsilon x_1'' ) + (x_0 + \varepsilon x_1) + \varepsilon (x_0 + \varepsilon x_1)^3 + \mathcal{O}(\varepsilon^2) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ x_0'' + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ x_1'' + x_1 = -2 \omega_1 x_0'' - x_0^3
\end{align}
\]が得られる。
(c) 初期条件は
\[ \begin{align}
x(0) &= x_0(0) + \varepsilon x_1(0) + \varepsilon^2 x_2(0) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = a \\
\dot{x}(0) &= \dot{x}_0(0) + \varepsilon \dot{x}_1(0) + \varepsilon^2 \dot{x}_2(0) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0
\end{align}
\]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すれば、$x_0(0)=a, \ \dot{x}_0(0)=0$、およびすべての$k>0$に対して、$x_k(0)=\dot{x}_k(0)=0$が得られる。
(d) $\mathcal{O}(1)$の方程式の一般解は
\[ x_0(\tau) = A \sin \tau + B \cos \tau \]であるので、初期条件$x_0(0)=a, \ \dot{x}_0(0)=0$から
\[ x_0(\tau) = a \cos \tau \]が得られる。
(e) $x_0'' = - a \cos \tau$と
\[ \cos^3 \tau = \frac{3}{4} \cos \tau + \frac{1}{4} \cos 3 \tau \]を用いると、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式は
\[ x_1'' + x_1 = \left( 2 \omega_1 a - \frac{3}{4} a^3 \right) \cos \tau - \frac{1}{4} a^3 \cos 3 \tau \]となる。したがって、永年項を回避するために、$\omega_1=\frac{3}{8} a^2$が必要となる。
(f) $\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式を解くと、
\[ x_1(\tau) = \frac{1}{32} a^3 \cos 3 \tau \]が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-12 06:36:43

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