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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.262の問題番号「7.6.22」への解答

系$\ddot{x} + x + \varepsilon x^2 = 0, \ \ x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$
解）$\tau = \omega t$とおくと、方程式は
\[ \omega^2 x'' + x + \varepsilon x^2 = 0 \]となる。$x(t, \varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \ \ \omega = 1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$とおき、方程式に代入すると、
\[ (1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2)^2 ( x_0'' + \varepsilon x_1'' + \varepsilon^2 x_2'') \\
+ (x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2 ) + \varepsilon (1 + \varepsilon \omega_1)^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ x_0'' + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ x_1'' + x_1 + 2 \omega_1 x_0'' + x_0^2 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ x_2'' + x_2 + ( \omega_1^2 + 2 \omega_2) x_0'' + 2 \omega_1 x_1'' + 2 x_0 x_1 = 0
\end{align}
\]となる。また、初期条件は
\[ x_0(0) = a, \ \ x_0'(0)=0, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_1'(0)=0, \ \ x_2(0) = 0, \ \ x_2'(0)=0 \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-14 05:05:32

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問題解答へのコメント

1

解答の続き
$\mathcal{O}(1)$の方程式から
\[ x_0(\tau) = a \cos \tau \]を得る。次に、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式は、
\[ x_1'' + x_1 = 2 \omega_1 a \cos \tau - \frac{a^2}{2} (1+ \cos 2 \tau) \]となる。この式から永年項を回避するために、
\[ \omega_1 = 0 \]が得られる。また、このとき、
\[ x_1(\tau) = a^2 \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cos \tau + \frac{1}{6} \cos 2 \tau \right) \]となる。さらに、$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$の方程式は、
\[ x_2'' + x_2 = \left( 2 \omega_2 a + \frac{5}{6} a^3 \right) \cos \tau - \frac{1}{3} a^3 \left( 1 + \cos 2 \tau +\frac{1}{2} \cos 3 \tau \right) \]となるので、永年項を回避するために、
\[ \omega_2 = - \frac{5}{12} a^2 \]が得られる。このとき、
\[ x_2(\tau) = a^3 \left( - \frac{1}{3} + \frac{29}{144} \cos \tau + \frac{1}{9} \cos 2 \tau + \frac{1}{48} \cos 3 \tau \right) \]となる。したがって、系の級数解は
\[ \begin{align}
x(\tau, \varepsilon) &= a \cos \tau + \varepsilon a^2 \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cos \tau + \frac{1}{6} \cos 2 \tau \right) \\
& + \varepsilon^2 a^3 \left( - \frac{1}{3} + \frac{29}{144} \cos \tau + \frac{1}{9} \cos 2 \tau + \frac{1}{48} \cos 3 \tau \right) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \end{align} \]となる。また、振動の中心は近似的に
\[ x \approx -\frac{1}{2} \varepsilon a^2 \]であることがわかる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2021-03-14 05:12:25

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