ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\ddot{x} - \varepsilon x \dot{x} + x = 0$
解）$\tau = \omega t$とおくと、方程式は
\[ \omega^2 x'' - \varepsilon x x' + x = 0 \]となる。$x(t, \varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \ \ \omega = 1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$とおき、方程式に代入すると、
\[ (1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2)^2 ( x_0'' + \varepsilon x_1'' + \varepsilon^2 x_2'') \\
- \varepsilon (1 + \varepsilon \omega_1) ( x_0 + \varepsilon x_1 ) (x_0' + \varepsilon x_1' ) + (x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ x_0'' + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ x_1'' + x_1 + 2 \omega_1 x_0'' - x_0 x_0' = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ x_2'' + x_2 + ( \omega_1^2 + 2 \omega_2) x_0'' + 2 \omega_1 x_1'' - \omega_1 x_0 x_0' - x_0' x_1 - x_0 x_1' = 0
\end{align}
\]が得られる。$\mathcal{O}(1)$の方程式から
\[ x_0(\tau) = r_0 \cos (\tau + \phi_0) \]が得られる。次に、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式は、
\[ x_1'' + x_1 = 2 \omega_1 r_0 \cos (\tau + \phi_0) - \frac{r_0^2}{2} \sin 2 (\tau + \phi_0) \]となる。この式から永年項を回避するために、
\[ \omega_1 = 0 \]が得られる。また、このとき、
\[ x_1(\tau) = r_1 \cos (\tau + \phi_1) + \frac{r_0^2}{6} \sin 2(\tau+ \phi_0) \]となる。さらに、$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$の方程式は、
\[ x_2'' + x_2 = \left( 2 \omega_2 r_0 + \frac{r_0^3}{12} \right) \cos(\tau+ \phi_0) + \frac{r_0^3}{4} \cos 3(\tau + \phi_0) -r_0 r_1 \sin (2 \tau + \phi_0 + \phi_1 ) \]となるので、永年項を回避するために、
\[ \omega_2 = - \frac{r_0^2}{24} \]が得られる。したがって、振幅と振動数の間の近似的な関係式は、
\[ \omega \approx 1 - \frac{1}{24} \varepsilon^2 r_0^2 \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-14 06:12:48

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