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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.262の問題番号「7.6.25」への解答

系$\ddot{x} + x + \varepsilon h(x,\dot{x},t)=0$
(a) 変数変換$x(t) = r(t) \cos (t+\phi(t)), \ \ \dot{x}(t) = - r(t) \sin (t + \phi(t))$とおいたとき、$y(t)=-\dot{x}(t)$とすると、系は
\[ \dot{x}=-y, \ \ \dot{y} = x + \varepsilon h \]と表すことができ、変数変換
\[ x = r \cos (t+\phi), \ \ y=r \sin (t + \phi) \]は極座標への変換とみなすことができる。したがって、
\[ r \dot{r} = x \dot{x} + y \dot{y} = \varepsilon h y = \varepsilon h r \sin (t+\phi) \]から、
\[ \dot{r} = \varepsilon h \sin (t + \phi) \]が得られる。また、
\[ r^2 (1 + \dot{\phi}) = x \dot{y} - y \dot{x} = r^2 + \varepsilon h x = r^2 + \varepsilon h r \cos (t+\phi) \]から
\[ r \dot{\phi} = \varepsilon h \cos (t+ \phi) \]が得られる。

(b) 移動平均$\langle r \rangle$は
\[ \langle r \rangle = \frac{1}{2 \pi} \int_{t-\pi}^{t+\pi} r(\tau) d \tau = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} r(t+\tau) d \tau \]と表せる。したがって、
\[ \begin{align}
\frac{ d \langle r \rangle}{d t} &= \frac{d}{d t} \left[ \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} r(t+\tau) d \tau \right] \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d}{dt} r(t+\tau) d \tau \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d r(t+\tau)}{d(t+\tau)} \frac{d(t+\tau)}{dt} d \tau \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \dot{r}(t+\tau) d \tau \\
&= \langle \frac{dr}{dt} \rangle
\end{align} \]となる。

(c) (b)の結果より
\[ \begin{align}
\frac{ d \langle r \rangle}{d t} &= \langle \dot{r} \rangle = \langle \varepsilon h [x(t), \dot{x}(t), t] \sin(t+\phi(t)) \rangle \\
&= \varepsilon \langle h [r \cos(t+\phi), -r \sin(t+\phi), t] \sin(t+\phi(t)) \rangle
\end{align} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-18 06:02:03

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問題解答へのコメント

1

(d) $r(t)$と$\bar{r}(t)$の差の大きさを考える。
\[ | \bar{r}(t) - r(t) | = \left| \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} r(t+\tau) d \tau - r(t) \right| = \left| \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} ( r(t+\tau) - r(t) ) d \tau \right| \]となり、$-\pi \leq \tau \leq \pi$において、$|r(t+\tau)-r(t)|$が最大となる$\tau$を$\tau_{\mathrm{max}}$とすると、
\[ | \bar{r}(t) - r(t) | \leq | r(t+\tau_{\mathrm{max}}) - r(t) | \]となる。一方、
\[ r(t+\tau_{\mathrm{max}}) - r(t) = \int_t^{t+\tau_{\mathrm{max}}} \dot{r}(\tau) d \tau = \varepsilon \int_t^{t+\tau_{\mathrm{max}}} h \sin(\tau + \phi) d \tau \]となるので、
\[ | \bar{r}(t) - r(t) | \leq \varepsilon \left| \int_t^{t+\tau_{\mathrm{max}}} h \sin(\tau + \phi) d \tau \right| \]が得られる。したがって、
\[ r(t) = \bar{r}(t) + \mathcal{O}(\varepsilon) \]となる。同様に$\phi$についても
\[ | \bar{\phi}(t) - \phi(t) | \leq \varepsilon \left| \int_t^{t+\tau_{\mathrm{max}}} \frac{h}{r} \cos(\tau + \phi) d \tau \right| \]となるので、
\[ \phi(t) = \bar{\phi}(t) + \mathcal{O}(\varepsilon) \]となる。
これらの結果を利用すると、
\[ \begin{align}
\frac{ d \bar{r}}{d t} &= \varepsilon \langle h [r \cos(t+\phi), -r \sin(t+\phi), t] \sin(t+\phi(t)) \rangle \\
&= \varepsilon \langle h [\bar{r} \cos(t+\bar{\phi}), -\bar{r} \sin(t+\bar{\phi}), t] \sin(t+\bar{\phi(t)}) \rangle + \mathcal{O}(\varepsilon^2)
\end{align} \]が得られ、また、
\[ \begin{align}
\frac{ d \bar{\phi}}{d t} &= \varepsilon \langle \frac{h [r \cos(t+\phi), -r \sin(t+\phi), t]}{r} \cos(t+\phi(t)) \rangle \\
&= \varepsilon \langle \frac{h [\bar{r} \cos(t+\bar{\phi}), -\bar{r} \sin(t+\bar{\phi}), t]}{\bar{r}} \cos(t+\bar{\phi(t)}) \rangle + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \end{align} \]となるので、
\[ \bar{r} \frac{ d \bar{\phi}}{d t} = \varepsilon \langle h [\bar{r} \cos(t+\bar{\phi}), -\bar{r} \sin(t+\bar{\phi}), t] \cos(t+\bar{\phi(t)}) \rangle + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \]が得られる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2021-03-18 06:06:10

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