ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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方程式$\dot{x} = - \varepsilon x \sin^2 t, \ \ 0 < \varepsilon \ll 1, \ \ x(0) = x_0$
(a) $\sin^2 t = \frac{1}{2} (1 - \cos 2t )$を用いると、この方程式の厳密解は
\[ x(t) = x_0 e^{-\frac{\varepsilon}{2} t + \frac{\varepsilon}{4} \sin 2 t} \]となる。

(b) $x(t)$と$\bar{x}(t)$の差の大きさを考える。
\[ | \bar{x}(t) - x(t) | = \left| \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} x(t+\tau) d \tau - x(t) \right| = \left| \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} ( x(t+\tau) - x(t) ) d \tau \right| \]となり、$-\pi \leq \tau \leq \pi$において、$|x(t+\tau)-x(t)|$が最大となる$\tau$を$\tau_{\mathrm{max}}$とすると、
\[ | \bar{x}(t) - x(t) | \leq | x(t+\tau_{\mathrm{max}}) - x(t) | \]となる。一方、
\[ x(t+\tau_{\mathrm{max}}) - x(t) = \int_t^{t+\tau_{\mathrm{max}}} \dot{x}(\tau) d \tau = - \varepsilon \int_t^{t+\tau_{\mathrm{max}}} x \sin^2 \tau d \tau \]となるので、
\[ | \bar{x}(t) - x(t) | \leq \varepsilon \left| \int_t^{t+\tau_{\mathrm{max}}} x \sin^2 \tau d \tau \right| \]が得られる。したがって、
\[ x(t) = \bar{x}(t) + \mathcal{O}(\varepsilon) \]となる。
また、平均化の方法から$\bar{x}$の満たす近似的な微分方程式として
\[ \frac{d \bar{x}}{d t} = - \varepsilon \bar{x} \langle \sin^2 t \rangle = - \frac{1}{2} \varepsilon \bar{x} \]が得られる。これを解くと、
\[ \bar{x}(t) = x_0 e^{-\frac{\varepsilon}{2} t } \]が得られる。

(c) (a)で得た厳密解から
\[ \begin{align} x(t) &= x_0 e^{-\frac{\varepsilon}{2} t } \left( 1 + \frac{\varepsilon}{4} \sin 2 t + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \right) \\
&= \bar{x}(t) + \varepsilon \frac{\bar{x}(t)}{4} \sin 2 t + \mathcal{O}(\varepsilon^2)
\end{align} \]となるので、平均化により生じる誤差の大きさは$\varepsilon \frac{\bar{x}(t)}{4} \sin 2 t$程度となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-18 06:33:46

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