ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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(a) $\dot{x} = \mu x - x^2, \ \ \dot{y} = -y$（トランスクリティカル分岐）
解）この系の固定点は$(0,0), \ \ (\mu, 0)$の2点。各点のヤコビ行列は
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} \mu & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=\mu-1, \ \ \Delta = -\mu, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (\mu+1)^2 \geq 0 \\
(\mu, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -\mu & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu-1, \ \ \Delta = \mu, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (\mu-1)^2 \geq 0\]したがって、$\mu < 0$のとき、$(0,0)$は安定ノード、$(\mu,0)$はサドルとなる。$\mu$が増加するにつれて、$(\mu,0)$は原点に近づき、$\mu=0$でこれらは一致する。このとき、原点は孤立していない固定点と予想されるが、実際は$x<0$の領域でサドルのふるまいをし、$x>0$の領域で安定ノードのふるまいをする。さらに、$\mu>0$では$(0,0)$がサドル、$(\mu,0)$が安定ノードとなる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-21 16:12:40

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問題解答へのコメント

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(b) $\dot{x} = \mu x + x^3, \ \ \dot{y} = -y$（亜臨界ピッチフォーク分岐） 解）$\mu<0$のとき、この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm \sqrt{-\mu}, 0)$の3点。各点のヤコビ行列は \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} \mu & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=\mu-1, \ \ \Delta = -\mu, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (\mu+1)^2 \geq 0 \\ (\pm \sqrt{-\mu}, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 \mu & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-2 \mu-1, \ \ \Delta = 2 \mu, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (2 \mu-1)^2 \geq 0\]したがって、$\mu < 0$のとき、$(0,0)$は安定ノード、$(\pm \sqrt{-\mu},0)$はサドルとなる。$\mu$が増加するにつれて、$(\pm \sqrt{-\mu},0)$は原点に近づき、$\mu=0$でこれらは一致する。このとき、原点は孤立していない固定点と予想されるが、実際はサドルのふるまいをする。さらに、$\mu>0$のとき、固定点は原点のみで、サドルとなる。 投稿者：goodbook 投稿日時：2021-03-21 16:14:33