ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}=y-2x, \ \ \dot{y} = \mu + x^2 -y$
(a) ヌルクラインは添付図の青線。
(b)(c) $\mu<1$では2つの固定点$(1+\sqrt{1-\mu}, 2+2 \sqrt{1-\mu}), \ \ (1-\sqrt{1-\mu}, 2-2 \sqrt{1-\mu})$が存在する。各固定点のヤコビ行列を求めて分類すると、
\[ (1+\sqrt{1-\mu}, 2+2 \sqrt{1-\mu}) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2+2 \sqrt{1-\mu} & -1 \end{pmatrix}, \\ \tau=-3, \ \ \Delta = -2 \sqrt{1-\mu}<0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 9 + 8 \sqrt{1-\mu} \]となるので、サドルとなる。一方、
\[ (1-\sqrt{1-\mu}, 2-2 \sqrt{1-\mu}) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2-2 \sqrt{1-\mu} & -1 \end{pmatrix}, \\ \tau=-3, \ \ \Delta = 2 \sqrt{1-\mu}>0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 9 - 8 \sqrt{1-\mu} \]となるので、$\mu < -\frac{17}{64}$のとき安定スパイラル（添付図左上）、$-\frac{17}{64} \leq \mu <1$のとき安定ノード（添付図右上）となる。
$\mu$が増加するにつれて、サドルと安定ノードは互いに接近し、$\mu=1$で衝突（添付図左下）して最終的に$\mu>1$では消え失せる（添付図右下）。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-28 18:48:19

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