ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\dot{\theta}_1 = K \sin (\theta_1 - \theta_2) - \sin \theta_1, \ \ \dot{\theta}_2 = K \sin (\theta_2 - \theta_1) - \sin \theta_2$
(a) この系は$(m \pi, n \pi)$と、$K>\frac{1}{2}$のとき、$(2m \pi \pm \alpha, 2n\pi \mp \alpha)$に固定点をもつ。ここで、$m, \ n$は任意の整数、$\alpha$は$\cos \alpha =1/2K, \ \ \sin \alpha = \sqrt{1-4K^2}/2K$を満たす。以下、固定点ごとに分類。
\[ (2m\pi,2n\pi) \ : \ J = \begin{pmatrix} K-1 & -K \\ -K & K-1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=2(K-1), \ \ \Delta=1-2K, \ \ \tau^2-4 \Delta=4K^2 \]となるので、$0<K<1/2$で安定ノード、$K>1/2$でサドルとなる。
\[ ((2m+1)\pi,2n\pi) \ : \ J = \begin{pmatrix} -K+1 & K \\ K & -K-1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-2K, \ \ \Delta=-1 \]となるので、サドルとなる。
\[ (2m\pi,(2n+1)\pi) \ : \ J = \begin{pmatrix} -K-1 & K \\ K & -K+1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-2K, \ \ \Delta=-1 \]となるので、サドルとなる。
\[ ((2m+1)\pi,(2n+1)\pi) \ : \ J = \begin{pmatrix} K+1 & -K \\ -K & K+1 \end{pmatrix}, \\ \tau=2(K+1), \ \ \Delta=1+2K, \ \ \tau^2-4 \Delta=4K^2 \]となるので、不安定ノードとなる。
\[ (2m\pi \pm \alpha,2n\pi \mp \alpha) \ : \ J = \begin{pmatrix} -K & K-\frac{1}{2K} \\ K-\frac{1}{2K} & -K \end{pmatrix}, \\ \tau=-2K, \ \ \Delta=1-\frac{1}{4K^2}, \ \ \tau^2-4 \Delta=(2K-\frac{1}{K})^2 \]となるので、安定ノードとなる。

(b) (a)の結果より、$K=\frac{1}{2}$のとき$(2m\pi,2n\pi)$で超臨界ピッチフォーク分岐を起こすことがわかる。
(c) この系のポテンシャルは
\[ V(\theta_1,\theta_2) = -K \cos(\theta_1-\theta_2) + \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \]と表すことできるので、この系は勾配系であることがわかる。
(d) (c)の結果と定理7.2.1により、周期軌道はもたないことがわかる。
(e) 相図は添付図参照。

解答者：goodbook 解答日時：2021-04-11 09:02:25

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