ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\dot{n}=GnN-kn, \ \ \dot{N}=-GnN-fN+p$
(a) $x=Gn/k, \ \ y=GN//k, \ \ t'=kt, \ \ a=f/k, \ \ b=Gp/k^2$とおくと、系は
\[ x'=xy-x, \ \ y'=-xy-ay+b \]と表すことができる。ここで、プライムは$t'$での微分を表す。
(b) この系は$(0,b/a), \ \ (b-a,1)$に固定点をもつ。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,\frac{b}{a}) \ : \ J = \begin{pmatrix} \frac{b}{a}-1 & 0 \\ -\frac{b}{a} & -a \end{pmatrix}, \ \ \tau=\frac{b}{a}-1-a, \ \ \Delta=a-b, \ \ \tau^2-4 \Delta=(\frac{b}{a}-1+a)^2 \]となるので、$b<a$で安定ノード、$b>a$でサドルとなる。
\[ (b-a,1) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & b-a \\ -1 & -b \end{pmatrix}, \ \ \tau=-b, \ \ \Delta=b-a, \ \ \tau^2-4 \Delta=b^2-4b+4a \]となるので、$b>a$で$a<b-\frac{b^2}{4}$のとき安定スパイラル、$a>b-\frac{b^2}{4}$のとき安定ノードとなる。
(c) 相図は添付図。
(d) この系では$b=a$でトランスクリティカル分岐が起こる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-04-11 14:14:09

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