ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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バイアスのかかったファン・デル・ポール振動子$\ddot{x} + \mu (x^2-1) \dot{x} + x = a$
解）$\dot{x}=y$とおくと、方程式は
\[ \dot{x}=y, \ \ \dot{y} = -x - \mu (x^2-1)y+a \]と表すことができる。この系の固定点は$(a,0)$となる。ヤコビ行列は
\[ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -\mu(a^2-1) \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu (a^2-1), \ \ \Delta =1>0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \mu^2(a^2-1)^2-4 \]となり、固有値は
\[ \lambda = \frac{-\mu(a^2-1) \pm \sqrt{\mu^2 (a^2-1)^2-4} }{2} \]となる。したがって、$(a,\mu)$平面において、安定性ダイアグラムを描くと添付図のようになり、赤い線がホップ分岐が起こる曲線となる。
i) $a,\mu$が$|a|>1, \ \ \mu>0$の領域から$|a|<1, \ \ \mu>0$の領域に移動するとき、超臨界ホップ分岐が起こる。
ii) $a,\mu$が$|a|<1, \ \ \mu<0$の領域から$|a|>1, \ \ \mu<0$の領域に移動するとき、亜臨界ホップ分岐が起こる。
iii) $a,\mu$が$|a|>1, \ \ \mu>0$の領域から$|a|>1, \ \ \mu<0$の領域に移動するとき、退化したホップ分岐が起こる。
iv) $a,\mu$が$|a|<1, \ \ \mu<0$の領域から$|a|<1, \ \ \mu>0$の領域に移動するとき、退化したホップ分岐が起こる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-04-13 06:39:26

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