ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}=-y+ \mu x + x y^2, \ \ \dot{y}=x+ \mu y - x^2$
(a) この系を極座標で表すと、
\[ \dot{r} = \mu r - \frac{r^2}{4} (\sin \theta + \sin 3 \theta) + \frac{r^3}{8} (1- \cos 4 \theta) \\
\dot{\theta} = 1 - \frac{r}{4} (3 \cos \theta + \cos 3 \theta) - \frac{r^2}{8} (2 \sin 2 \theta - \sin 4 \theta) \]となる。
(b) (a)の結果から、$r \ll 1$で振動的な項を無視すると、
\[ \dot{\theta} \approx 1, \ \ \dot{r} \approx \mu r + \frac{r^3}{8} + \cdots \]が得られる。
(c) $\mu=-0.005$のときの原点付近の軌道を描くと添付図のようになる。点$(0.3,0)$からはじまる軌道は原点から遠ざかる方向に向かっていることがわかる。一方、点$(0.15,0)$からはじまる軌道は原点に近づく方向に向かっていることがわかる。したがって、$\mu=-0.005<0$で半径$r \approx \sqrt{-8 \mu} = 0.2$の不安定リミットサイクルが存在することが示唆される。

解答者：goodbook 解答日時：2021-04-17 08:40:52

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