ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}=\mu x+y-x^2, \ \ \dot{y}=-x+\mu y+2x^2$
この系は2つの固定点
\[ (0,0), \ \ \left( \frac{\mu^2+1}{\mu+2}, \frac{(\mu^2+1)(1-2\mu)}{(\mu+2)^2} \right) \]をもつ。
\[ (0,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} \mu & 1 \\ -1 & \mu \end{pmatrix}, \ \ \tau=2\mu, \ \ \Delta =\mu^2+1>0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -4 \]となるので、$\mu<0$のとき安定スパイラル、$\mu>0$のとき不安定スパイラルとなる。
\[ \left( \frac{\mu^2+1}{\mu+2}, \frac{(\mu^2+1)(1-2\mu)}{(\mu+2)^2} \right) \ : \ J = \begin{pmatrix} \frac{-\mu^2+2\mu-2}{\mu+2} & 1 \\ \frac{4\mu^2-\mu+2}{\mu+2} & \mu \end{pmatrix}, \ \ \tau=\frac{4\mu-2}{\mu+2}, \ \ \Delta =-(\mu^2+1)<0 \]となるので、サドルとなる。

分岐の直上と直下での相図は添付図のようになる。数値的に調べると、ホモクリニック分岐を起こす値は約$0.066$と見積もることができる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-05-04 06:44:54

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