ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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(a) 平均化された系の固定点は
\[ \sin \phi = -\frac{k r}{F}, \ \ \cos \phi = \frac{r}{4F} (3br^2-4a)\]を満たすので、$\sin^2 \phi + \cos^2 \phi=1$より
\[ r^2 \left[ k^2+\left( \frac{3}{4} br^2-a \right)^2 \right] = F^2 \]が得られる。
(b) $b=0$のとき
\[ a= \pm \sqrt{ \frac{F^2}{r^2}-k^2 } \]となる。このグラフを描くと、添付図左上のようになる。
(c) $b \neq 0$のとき
\[ a= \frac{3}{4} br^2 \pm \sqrt{ \frac{F^2}{r^2}-k^2 } \]となる。このグラフを描くと、添付図のようになる。小さな非線形性のときは右上図のようになり、確かに1価になっていることがわかる。一方、大きな非線形性のときは左下図のようになり、3価になっていることがわかる。
また、$b_c$は
\[ a= \frac{3}{4} br^2 + \sqrt{ \frac{F^2}{r^2}-k^2 } \]に対して
\[ \frac{da}{dr} = \frac{3}{2} br-\frac{F^2}{r^2 \sqrt{F^2-k^2r^2}}=0, \ \ \frac{d^2a}{dr^2} = \frac{3}{2} b+\frac{F^2(2F^2-3k^2r^2)}{r^3 (F^2-k^2r^2)^{\frac{3}{2}}}=0 \]を満たすものである。したがって、
\[ b_c = \frac{32 \sqrt{3} k^3}{27F^2} \]が得られる。
(d) $r$を$(a,b)$平面上の面としてプロットすると、添付図右下のようになり、カスプカタストロフ面になっていることがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-05-16 07:39:01

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