ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\dot{\theta}_1 = \omega_1+\sin \theta_1 \cos \theta_2, \ \ \dot{\theta}_2 = \omega_2+\sin \theta_2 \cos \theta_1, \ \ \omega_1, \ \omega_2 \geq 0$
(a)(b) まず位相差$\phi=\theta_1-\theta_2$について調べる。このとき、
\[ \dot{\phi}=\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2=\omega_1-\omega_2+\sin \phi \]となる。したがって、
i) $|\omega_1-\omega_2|>1$ならば固定点はなし。
ii) $|\omega_1-\omega_2|=1$ならば1つの固定点、すなわち、半安定な周期解をもつ。
iii) $|\omega_1-\omega_2|<1$ならば2つの固定点、すなわち、安定な位相ロック解と不安定な位相ロック解をもつ。
従って、系は$|\omega_1-\omega_2|=1$で周期軌道のサドルノード分岐を起こすことがわかる。
一方、方程式は
\[ \dot{\theta}_1= \omega_1+\frac{1}{2} \{ \sin (\theta_1+\theta_2)+\sin (\theta_1-\theta_2) \}, \\
\dot{\theta}_2= \omega_2+\frac{1}{2} \{ \sin (\theta_1+\theta_2)-\sin (\theta_1-\theta_2) \} \]と書ける。したがって、
\[ \sin ( \theta_1^*+\theta_2^* ) = -\omega_1-\omega_2, \ \ \sin ( \theta_1^*-\theta_2^* ) = -\omega_1+\omega_2 \]を満たす$(\theta_1^*, \theta_2^*)$を考えると、
i) $\omega_1+\omega_2>1$ならば固定点はなし。
ii) $\omega_1+\omega_2=1$ならば4つの固定点をもち、それぞれ半安定な固定点となる。
iii) $\omega_1+\omega_2<1$ならば$|\omega_1+\omega_2|=1$のときの4つの固定点がそれぞれサドルとノードに別れる。
これは、$\omega_1+\omega_2=1$で無限周期分岐を起こすことを示している。
以上の相図を添付(i)-(v)に示す。

(c) $(\omega_1, \omega_2)$平面上の安定性ダイアグラムを描くと添付図右下のようになる。
$|\omega_1-\omega_2|=1$を満たす直線上に周期軌道のサドルノード分岐をもち、$\omega_1+\omega_2=1$の直線上に無限周期分岐をもつ。

解答者：goodbook 解答日時：2021-05-30 13:07:44

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