ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\dot{\theta}_1=\omega_1, \ \ \dot{\theta}_2=\omega_2$、$\omega_1/\omega_2$は無理数。
解）トーラス上の任意の点$(p_1,p_2)$、任意の初期条件$(q_1,q_2)$に対して、$p_1=0, \ \ p_2=q_2$としても一般性は変わらないので、このように設定する。
$\theta_2$方向に軌道が１周するときの時間は$2\pi/\omega_2$であるので、このとき、$\theta_1$方向には$2\pi \omega_1/\omega_2$だけ移動する。したがって、任意の初期条件$(q_1,q_2)$から初めて、$\theta_2$方向に軌道が$n$周したとすると、$\theta_1$方向には
\[ 2\pi \left[ \frac{\omega_1}{\omega_2} n+\delta_0 \right] \]に移動することになる。ここで、記号$[a]$を$a>0$に対してその整数部分を除いたものとして定義し、また、$q_1=2\pi \delta, \ \ 0<\delta_0<1$とおいた。
次に、自然数$n_0$を適切に選ぶと、
\[ \left[ \frac{\omega_1}{\omega_2}n_0+\delta_0 \right] < \min \left( \left[ \frac{\omega_1}{\omega_2} \right], \delta_0 \right) \]とすることができる。このときの$\theta_1$方向の位置を
\[ \delta_1=\left[ \frac{\omega_1}{\omega_2}n_0+\delta_0 \right] \]として、$2\pi \delta_1$とする。さらに、自然数$n_1$を適切に選ぶと、
\[ \left[ \frac{\omega_1}{\omega_2}n_1+\delta_1 \right] < \delta_1 \]とすることができる。このときの$\theta_1$方向の位置を
\[ \delta_2=\left[ \frac{\omega_1}{\omega_2}n_1+\delta_1 \right] \]として、$2\pi \delta_2$とする。
この操作を繰り返していくと、$N$回目の操作で、
\[ 2\pi \delta_N < \varepsilon \]とすることができる。
以上のことから、トーラス上の任意の点$q$から出発した軌道が$p$から距離$\varepsilon$以内を通るような
\[ t=\frac{2\pi}{\omega_2} \sum_{i=0}^N n_i < \infty \]が存在することがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-06-04 04:22:34

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