ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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4次元の系$\ddot{x}+x=0, \ \ \ddot{y}+\omega^2 y=0$
(a) この系の一般解は
\[ x(t)=A \sin(t+\alpha), \ \ y(t)=B \sin(\omega t+\beta) \]と書くことができる。ここで、$A,B,\alpha,\beta$は定数である。したがって、もし
\[ x(t)=A(t) \sin \theta(t), \ \ y(t)=B(t) \sin \phi(t) \]と書くならば、
\[ A(t)=A, \ \ B(t)=B, \ \ \theta(t)=t+\alpha, \ \ \phi(t)=\omega t+\beta \]となるので、$\dot{A}=\dot{B}=0$であり、$\dot{\theta}=1, \ \ \dot{\phi}=\omega$となることがわかる。

(b) (a)の結果から、この系の軌道は
\[ x(t)=A \sin(t+\alpha), \ \ \dot{x}(t)=A \cos(t+\alpha), \ \ y(t)=B \sin(\omega t+\beta), \ \ \dot{y}(t)=\omega B \cos(\omega t+\beta) \]と表すことができる。これらの式から、$x(t),\dot{x}(t)$は$(x,\dot{x})$平面中の円上に拘束されており、$y(t),\dot{y}(t)$は$(y,\dot{y})$平面中の楕円上に拘束されていることがわかるので、この系の軌道は4次元の相空間中の2次元のトーラスに拘束されていることがわかる。

(c) リサージュ図形はこの系の軌道を$(x,y)$平面に射影したものと考えられる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-06-19 08:36:35

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