ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系
\[ \dot{x}+x=F(t), \ \
F(t) = \begin{cases}
+A & (0<t<T/2) \\
-A & (T/2<t<T)
\end{cases}
\](a) 斉次方程式$\dot{x}+x=0$より、
\[ x(t)=Be^{-t} \]が得られるので、この解の係数を$B(t)$として、$\dot{x}+x=F(t)$に代入すると、
\[ \dot{B}=F(t)e^t \]となる。この式を時刻$0$から$T$まで積分すると、
\[ B(T)-B(0)=-A(e^{\frac{T}{2}}-1)^2 \]となる。したがって、$B(0)=x_0$となることを考慮すると、
\[ x(T) = x_0 e^{-T}-A(1-e^{-\frac{T}{2}})^2 \]が得られる。

(b) $x(T)=x_0$となるとき、周期解をもつので、
\[ x_0 = x_0 e^{-T}-A(1-e^{-\frac{T}{2}})^2 \]より、
\[ x_0 = -A \tanh \frac{T}{4} \]が得られる。これは、唯一の周期解となる。

(c) $T \to 0$のとき、$x(T) \to x_0$となる。これは矩形波の周期が極端に短くなるため、$x$への影響がなくなってしまい、初期位置から動くことがなくなったと考えられる。一方、$T \to \infty$のとき、$x(T) \to -A$となる。これは$t \sim T$では矩形波の値は$-A$となるので、$x$はこの値の影響を受けると考えられる。

(d) 添付図参照。ただし、$A=1, \ \ T=1$とした。ポアンカレ写像は赤い線。

(e) 添付図参照。クモの巣図法（青い線）を用いると、$P$が大域的に安定な固定点を持つことがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-07-09 05:43:46

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