ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{r}=r-r^2, \ \ \dot{\theta}=1$
(a) $r_0$を$S$上の初期点とする。$\dot{\theta}=1$なので、最初に$S$に戻るのは帰還時間$t=2\pi$の後となる。よって$r_1=P(r_0)$で、$r_1$は
\[ \int_{r_0}^{r_1} \frac{dr}{r(1-r)}=\int_0^{2\pi}dt=2\pi \]を満たす。この式より
\[ r_1=(1-(1-r_0^{-1})e^{-2\pi})^{-1} \]となる。ゆえにポアンカレ写像$P$は
\[ P(r)=(1-(1-r^{-1})e^{-2\pi})^{-1} \]となる。
(b) 固定点は$P$のグラフが45°の直線と交わる点$r^*=1$に生じる。また、ポアンカレ写像$P(r)$の$r^*=1$での傾きは$e^{-2\pi}<1$となるので、クモの巣図法により、固定点$r^*=1$が安定で唯一であることがわかる。
(c) $r^*$における線形化したポアンカレ写像は
\[ DP(r^*)=e^{-2\pi} \]となる。つまり、特性乗数は$e^{-2\pi}$となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-07-24 16:26:58

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