ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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(a) 角度$\theta$での水の質量分布$m(\theta,t)$に対して、慣性モーメントは$m(\theta,t)r^2$となるので、
\[ I_{\mathrm{water}}=\int_0^{2\pi}m(\theta,t)r^2d \theta=r^2\int_0^{2\pi}m(\theta,t)d\theta=Mr^2 \]と表示できる。
(b) まず、$\dot{M}$は、
\[ \dot{M}=\int_0^{2\pi}\frac{\partial m(\theta,t)}{\partial t} d\theta \]と表せる。次に、連続の式(9.1.2)を用いると、
\[ \begin{align}
\dot{M} &= \int_0^{2\pi} \left[ Q(\theta)-Km(\theta,t)-\omega \frac{\partial m}{\partial \theta} \right] d\theta \\
&= \int_0^{2\pi}Q(\theta)d\theta-K \int_0^{2\pi}m(\theta,t)d\theta-\omega \int_0^{2\pi} \frac{\partial m}{\partial \theta} d\theta \\
&= Q_{\mathrm{total}}-KM-\omega(m(2\pi,t)-m(0,t)) \\
&= Q_{\mathrm{total}}-KM
\end{align}
\]となることがわかる。
(c) $\dot{M}=Q_{\mathrm{total}}-KM$より$M$は時間経過するにつれて、安定な固定点$M^*=Q_{\mathrm{total}}/K$に近づくことがわかる。したがって、慣性モーメントは$t \to \infty$で
\[ I(t) \to I_{\mathrm{wheel}}+\frac{r^2 Q_{\mathrm{total}}}{K} \]になることがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-08-03 04:49:01

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