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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.41の問題番号「2.1.5」への解答

近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。

解答者：goodbook 解答日時：2015-07-04 06:56:57

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問題解答へのコメント

1	鉄棒をしている体操選手がよい例かと思います。この体操選手は身体中の関節が固定されており、何があっても鉄棒は握ったまま、鉄棒と掌の摩擦は考えないものとします。この系において、重力と反対の向きを0（基準）とし、基準と針のなす角をxとすればdx/dt = sin xに従いそうな気がします。以下、簡単のため0 <= x < 2πとします。たとえば、初期状態がπ（180度）ならずっとそのままですし、π/4などなら、振り子のように動いた後、πで静止します。理論上、初期状態が0なら静止しますが、0.0001などだと最終的にπで静止します。このように0は不安定固定点、πは安定固定点となります。投稿者：MartyWhite 投稿日時：2022-02-05 18:21:21
2	MartyWhiteさん、コメントありがとうございます。ただ、やっぱりしっくりきません。 \[ \frac{dx}{dt}=\sin x \]は$\pi$に安定固定点を持つので、たとえば$x=0.0001$から始まった場合、少しずつ加速していき、$x=\pi/2$で最大速度をとり、その後少しずつ減速していき、$x=\pi$に無限の時間をかけて近づいていくという動きをします。振り子のような動きではないので、解説いただいた体操選手の例は当てはまらないと思います。投稿者：goodbook 投稿日時：2022-02-06 19:18:39
3	goodbookさん、ご返信いただきありがとうございます。言われてみれば確かに…と思いました。振り子だと加速度がsin xっぽい振る舞いをしそうですね。もう少し考えてみます。投稿者：MartyWhite 投稿日時：2022-02-08 10:42:06
4	MartyWhiteさん、こちらこそありがとうございます。 6，7年ぶりに改めて考えるきっかけになりました。でも、いまだいい例が思い浮かびませんが…。いい考えを思いついたら、また是非教えてください。投稿者：goodbook 投稿日時：2022-02-09 04:27:02
5	こんばんは。今更すみません… 恐らく振り子のような運動をするのは、 dx/dt ∝ sinxではなくて、d²x/dt² ∝ sinxかと思われます。失礼致しました。投稿者：rickstrogatz 投稿日時：2023-10-26 23:02:27
6	rickstrogatzさん、コメントありがとうございます。おっしゃる通り、振り子のような運動をするのはd²x/dt² ∝ sinxなのですが、今回は　近似的にdx/dt=sinxに従う力学的な系を探してみよという問題になります。何かわかったら教えていただけるとありがたいです。投稿者：goodbook 投稿日時：2023-10-27 03:51:09
7	先に述べたようなことをコメントした1時間後くらいにふと思ったのですが、単振り子の運動方程式の右辺は-sinxでしたね。微分するとなんか正負がひっくり返ったりしながらぐるぐるするので、それと同じような感じで、時間微分したらsinx(t)になるような、 x = -cos(x) · dt/dxとかとおけるような力学アナロジーが見つかったらいいなぁと思いますが思いつきませんでした。以上です。投稿者：rickstrogatz 投稿日時：2023-10-28 14:11:56
8	rickstrogatzさん、コメントありがとうございます。時間微分については以前自分でも考えてみたんですが、結局思いつきませんでした。「近似的に」という部分がポイントなのかな？投稿者：goodbook 投稿日時：2023-10-30 03:56:16

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1	鉄棒をしている体操選手がよい例かと思います。この体操選手は身体中の関節が固定されており、何があっても鉄棒は握ったまま、鉄棒と掌の摩擦は考えないものとします。この系において、重力と反対の向きを0（基準）とし、基準と針のなす角をxとすればdx/dt = sin xに従いそうな気がします。以下、簡単のため0 <= x < 2πとします。たとえば、初期状態がπ（180度）ならずっとそのままですし、π/4などなら、振り子のように動いた後、πで静止します。理論上、初期状態が0なら静止しますが、0.0001などだと最終的にπで静止します。このように0は不安定固定点、πは安定固定点となります。投稿者：MartyWhite 投稿日時：2022-02-05 18:21:21
2	MartyWhiteさん、コメントありがとうございます。ただ、やっぱりしっくりきません。 \[ \frac{dx}{dt}=\sin x \]は$\pi$に安定固定点を持つので、たとえば$x=0.0001$から始まった場合、少しずつ加速していき、$x=\pi/2$で最大速度をとり、その後少しずつ減速していき、$x=\pi$に無限の時間をかけて近づいていくという動きをします。振り子のような動きではないので、解説いただいた体操選手の例は当てはまらないと思います。投稿者：goodbook 投稿日時：2022-02-06 19:18:39
3	goodbookさん、ご返信いただきありがとうございます。言われてみれば確かに…と思いました。振り子だと加速度がsin xっぽい振る舞いをしそうですね。もう少し考えてみます。投稿者：MartyWhite 投稿日時：2022-02-08 10:42:06
4	MartyWhiteさん、こちらこそありがとうございます。 6，7年ぶりに改めて考えるきっかけになりました。でも、いまだいい例が思い浮かびませんが…。いい考えを思いついたら、また是非教えてください。投稿者：goodbook 投稿日時：2022-02-09 04:27:02
5	こんばんは。今更すみません… 恐らく振り子のような運動をするのは、 dx/dt ∝ sinxではなくて、d²x/dt² ∝ sinxかと思われます。失礼致しました。投稿者：rickstrogatz 投稿日時：2023-10-26 23:02:27
6	rickstrogatzさん、コメントありがとうございます。おっしゃる通り、振り子のような運動をするのはd²x/dt² ∝ sinxなのですが、今回は　近似的にdx/dt=sinxに従う力学的な系を探してみよという問題になります。何かわかったら教えていただけるとありがたいです。投稿者：goodbook 投稿日時：2023-10-27 03:51:09
7	先に述べたようなことをコメントした1時間後くらいにふと思ったのですが、単振り子の運動方程式の右辺は-sinxでしたね。微分するとなんか正負がひっくり返ったりしながらぐるぐるするので、それと同じような感じで、時間微分したらsinx(t)になるような、 x = -cos(x) · dt/dxとかとおけるような力学アナロジーが見つかったらいいなぁと思いますが思いつきませんでした。以上です。投稿者：rickstrogatz 投稿日時：2023-10-28 14:11:56
8	rickstrogatzさん、コメントありがとうございます。時間微分については以前自分でも考えてみたんですが、結局思いつきませんでした。「近似的に」という部分がポイントなのかな？投稿者：goodbook 投稿日時：2023-10-30 03:56:16

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